Вековое равновесие

Вековое равновесие — состояние, при котором число ядер изотопов в цепочке распадов связано с постоянными распада (периодами полураспада) простым соотношением:

[math]\displaystyle{ \frac{N_1}{N_2}=\frac{\lambda_2}{\lambda_1}=\frac{T_{1/2}^{(1)}}{T_{1/2}^{(2)}} }[/math]

Вековое равновесие заключается в том, что число распадов (активность) всех членов радиоактивного ряда равно друг другу, и если исходный изотоп имеет очень большое время жизни (постоянная активность), то никакого изменения активности и у дочерних радиоактивных элементов не наблюдается. С достаточной точностью можно считать, что вековое равновесие наступает за время, равное десятикратному периоду полураспада наиболее долгоживущего дочернего элемента:

• в урановом ряду — через 830000 лет,
• ториевом — через 67 лет,
• актино-урановом — через 343000 лет.

В естественном состоянии все нуклиды, генетически связанные в радиоактивных рядах, обычно находятся в определенных количественных соотношениях, зависящих от их периодов полураспада. Чем меньше [math]\displaystyle{ T_{1/2} }[/math] члена радиоактивного ряда, тем меньше его содержание в земной коре.

Постоянная распада [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] — вероятность распада ядра в единицу времени. Если в образце в момент времени [math]\displaystyle{ t }[/math] имеется [math]\displaystyle{ N }[/math] радиоактивных ядер, то количество ядер [math]\displaystyle{ dN }[/math], распавшихся за время [math]\displaystyle{ dt }[/math] равно [math]\displaystyle{ dN = -\lambda Ndt }[/math].

Количество ядер 2 достигает максимального значения [math]\displaystyle{ N_2^{max}=\frac{\lambda_1}{\lambda_2}N_{10}exp(-\lambda_2t^{max}) }[/math] при [math]\displaystyle{ t^{max}=\frac{\ln(\lambda_1/\lambda_2)}{\lambda_1-\lambda_2} }[/math].

Если [math]\displaystyle{ \lambda_2\lt \lambda_1 }[/math] , суммарная активность [math]\displaystyle{ N_1(t)\lambda_1+N_2(t)\lambda_2 }[/math] будет монотонно уменьшаться. Если [math]\displaystyle{ \lambda_2\gt \lambda_1 }[/math] , суммарная активность вначале растет за счет накопления ядер 2.

В общем случае, когда имеется цепочка распадов [math]\displaystyle{ 1 \xrightarrow{} 2 \xrightarrow{}...n }[/math]., процесс описывается системой дифференциальных уравнений

[math]\displaystyle{ dN_i/dt=-\lambda_iN_i+\lambda_{i-1}N_{i-1} }[/math].

Решением системы для активностей с начальными условиями [math]\displaystyle{ N_1(0)=N_{10} }[/math]; [math]\displaystyle{ N_i(0)=0 }[/math] будет

[math]\displaystyle{ A_n(t) = N_{10}\sum^{n}_{i=1} {c_iexp(-\lambda_it)} }[/math], где

[math]\displaystyle{ c_m=\frac{ \prod^n_{i=1}\lambda_i}{\prod^n_{i=1}(\lambda_i-\lambda_m)} }[/math].

Ссылки

• "secular equilibrium", IUPAC definition (IUPAC Compendium of Chemical Terminology 2nd Edition, 1997)  (англ.)
• EPA definition (недоступная ссылка)  (англ.)
• Radioactive Equilibrium. An equilibrium as old as the Earth Архивная копия от 28 июля 2019 на Wayback Machine, radioactivity.eu.com, IN2P3, EDP Science
• The concepts of transient and secular equilibrium are incorrectly described in most textbooks, and incorrectly taught to most physics students and residents, 2003, doi:10.1118/1.1738651  (англ.)
• https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1407/1407.3038.pdf Архивная копия от 24 июля 2019 на Wayback Machine  (англ.)
• Законы радиоактивного распада ядер Архивная копия от 26 июля 2019 на Wayback Machine - Б.С. Ишханов, И.Э.Кэбин "ЧАСТИЦЫ И ЯДРА. Шпаргалка для отличника: конспект лекций"